Backpropagation

앞서서 Feedforward를 통해서 weight 값을 update 하는 방법을 알았다.

Feed forward 방식의 update는 Multi-layers가 있는 Neural Network에서는 쉽게 사용이 어렵다.

그래서 나온 방식이 Backpropagation이다.

우선 앞서 나온 내용을 복습해야 한다.

2021.07.17 - [AI] - Gradient Descent

- Sigmoid activation function

$$\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$$

- Output (prediction) formula

$$\hat{y} = \sigma(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b)$$

- Error function

$$Error(y, \hat{y}) = - y \log(\hat{y}) - (1-y) \log(1-\hat{y})$$

- The function that updates the weights

$$ w_i \longrightarrow w_i + \alpha (y - \hat{y}) x_i$$

$$ b \longrightarrow b + \alpha (y - \hat{y})$$

2021.07.18 - [AI] - Feedforward

- Matrix Calculate

$$  \hat{y} = \sigma \begin{pmatrix} {w^{2}}_{11} \\ {w^{2}}_{21} \\ {w^{2}}_{31} \end{pmatrix} \sigma \begin{pmatrix} w_{11} && w_{12} \\ w_{21} && w_{22} \\ w_{31} && w_{32} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ -2 \end{pmatrix} $$

 

다음과 같은 다중 Neural Networks가 있다고 생각해 보자.

이것을 Matrix로 표현하면 아래와 같다.

$$  \hat{y} = \sigma \begin{pmatrix} {w^{2}}_{11} \\ {w^{2}}_{21} \\ {w^{2}}_{31} \end{pmatrix} \sigma \begin{pmatrix} w_{11} && w_{12} \\ w_{21} && w_{22} \\ w_{31} && w_{32} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

여기서 Layer 0의 Matrix는

$$  Layer0 = \begin{pmatrix} w_{11} && w_{12} \\ w_{21} && w_{22} \\ w_{31} && w_{32} \end{pmatrix}  $$

이고 Layer 1은

$$  Layer1 = \begin{pmatrix} {w^{2}}_{11} \\ {w^{2}}_{21} \\ {w^{2}}_{31} \end{pmatrix}  $$

가 된다.

각 가중치별 Error Function의 Vector 형태로 나타내면 은 $ \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{11}} $ 의 형태로 나타나게 된다. 이것을 표현하면 아래와 같다.

$$ \nabla{E} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{11}} && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{12}}  && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{1}}_{11}} \\ \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{21}} && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{22}} && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{1}}_{21}} \\ \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{31}}  && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{32}} && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{1}}_{31}} \end{pmatrix}  $$

핵심은

• 각 가중치의 변화가 $ \nabla{E} $ 의 위치에 얼마나 영향을 주는가?

가 된다.

이것은 weight의 업데이트에서 사용할 수 있다.

$$ {w'}_i = w_i - \alpha * \partial{E} / \partial{w_i} $$ 

이 공식을 아래와 같이 표현 가능하다.

$$ w_{ij} \longleftarrow w_{ij} - \alpha (\frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{ij}})$$

이제 미분에서 나오는 Chain Rule에 대해서 이해하자.

f(x) = y일때 y = 3x일 경우 y에 대한 x의 미분을 하면 결과는 3이된다. 이 결과를 갖는 y로 z를 미분하면 이것은 2가 되고 이 두개의 미분한 결과 값은 궁극적으로 z를 x로 미분한 값과 같게 된다.

$$ \partial{z}/\partial{x} = \partial{y}/\partial{x} * \partial{z}/\partial{y}  $$

로 나타낼 수 있다.

이것을 Neural Network 관점에서 풀어보자면 다음과 같이 말할 수 있다.

• Feed forward는 여러개의 함수를 곱한 결과물이다.
• Back Propagation은 곱한 결과물을 미분하는 것이다.

이제 결과의 미분을 어떻게 Back Propagation하는지 위의 그림에서 z의 결과 값을 6.6로 만약에 변경했다고 생각해 보자. 이것은 기존 결과값에 10%를 더한 목표가 된다.

• 6.6 = 2y = 3.3 = y = 3x = 1.1 = x

x가 1이 들어왔을 때 y가 3.3이 되기위한 weight는 3.3이 됨으로

아래와 같이 weight가 update 될 수 있다.

x의 weight 값을 10% 증가 시킴으로써 목표하는 z의 값을 얻어 낼 수 있다.

반대로 y의 weight값을 10% 올려서 목표하는 z의 값을 역시 얻어 낼 수 있게 된다.

결국 핵심은 x의 값이 z라는 값에 얼마의 변화량을 일으키냐가 핵심이 된다.

그럼 다시 본론으로 돌아가 보자.

이 그림은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \nabla{E} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{11}} && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{12}}  && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{1}}_{11}} \\ \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{21}} && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{22}} && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{1}}_{21}} \\ \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{31}}  && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{0}}_{32}} && \frac{\partial{E}}{\partial{W^{1}}_{31}} \end{pmatrix}  $$

이 것을 바탕으로 Layer 0 (영어로 Superscript라고 부른다)의 $ W_{11} $ 이 $ \nabla{E} $ 에 어떤 영향을 주는지 Chain rule을 사용해 보자.

$$ \frac{\partial{E}}{\partial{{W^0}_{11}}} = \frac{\partial{E}}{\partial{\hat{y}}} * \frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{h}} * \frac{\partial{h}}{\partial{h1}} *  \frac{\partial{h1}}{\partial{{W^0}_{11}}} $$

이중에 h1 변화에 따른 h의 변화율은 다음과 같이 표현 할 수 있다.

$$  h = W^{1}_{11} + W^{1}_{12} $$

일때 h1으로 미분하면

$$ \partial{h} / \partial{h_1} = W^{1}_{11} * \sigma{(h1)} * (1 - \sigma{(h1)}) $$

이 된다.

Sigmoid의 미분은 다음 내용을 참고하자.

https://towardsdatascience.com/derivative-of-the-sigmoid-function-536880cf918e

2021.07.17 - [AI] - Sigmoid Function

이에 대한 관련 코드는 다음 github를 참고 하자.

https://github.com/udacity/deep-learning-v2-pytorch/tree/master/intro-neural-networks/student-admissions